Question

13．已知数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，若a₁=1，则a₃=1，前60项的和为1830．

Answer 1

分析 a_n+1+（-1）ⁿ a_n=2n-1，可得a₂-a₁=1，a₃+a₂=3，a₄-a₃=5，a₅+a₄=7，a₆-a₅=9，a₇+a₆=11，…a₅₀-a₄₉=97．从而可得a₃+a₁=2，a₄+a₂=8，a₇+a₅=2，a₈+a₆=24，a₉+a₁₁=2，a₁₂+a₁₀=40，a₁₃+a₁₁=2，a₁₆+a₁₄=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．

解答 解：数列{a_n}满足a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1，a₁=1，∴a₂-1=1，解得a₂=2．
∴a₃+2=3，解得a₃=1．
∵a_n+1+（-1）ⁿ a_n=2n-1，
∴有a₂-a₁=1，a₃+a₂=3，a₄-a₃=5，a₅+a₄=7，a₆-a₅=9，a₇+a₆=11，…a₅₀-a₄₉=97．
从而可得a₃+a₁=2，a₄+a₂=8，a₇+a₅=2，a₈+a₆=24，a₉+a₁₁=2，a₁₂+a₁₀=40，a₁₃+a₁₁=2，a₁₆+a₁₄=56，…
从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
∴{a_n}的前60项和为 15×2+（15×8+$\frac{15×14}{2}$）=1830，
故答案为：1，1830．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、分类讨论方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．