Question

1．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R．
（1）若关于x的不等式f（x）≤$\frac{1}{2}$x-1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）设函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，若g（x）在[1，e²]上存在极值，求a的取值范围，并判断极值的正负．

Answer 1

分析 （1）由题意可知a≤-xlnx-$\frac{1}{2}$x²在[1，+∞）上恒成立，构造辅助函数，求导根据函数的单调性及极值的判断，即可求得m（x）在[1，+∞）上单调递增，即可求得a的取值范围；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，x∈[1，e²]，若g（x）在[1，e²]上存在极值，则$\left\{\begin{array}{l}{h（e）＞0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（{e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，分类讨论，分别构造辅助函数，根据导数与函数的关系，即可求得a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）≤$\frac{1}{2}$x-1，即lnx+$\frac{a}{x}$-1≤$\frac{1}{2}$x-1，
即a≤-xlnx-$\frac{1}{2}$x²在[1，+∞）上恒成立，
设函数m（x）=-xlnx-$\frac{1}{2}$x²，x≥1，
m′（x）=-lnx+x-1，设n（x）=-lnx+x-1，
n′（x）=-$\frac{1}{x}$+1，由x≥1时，n′（x）≥0，
∴n（x）在[1，+∞）单调递增，且n（x）≥n（1）=0，
即m′（x）≥m′（1）=0，对x∈[1，+∞）恒成立，
∴m（x）在[1，+∞）上单调递增，
当x∈[1，+∞）时，m（x）≥m（x）_min=m（1）=$\frac{1}{2}$，
∴a≤$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]；
（2）g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$，x∈[1，e²]，
求导g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2a}{{x}^{3}}$=$\frac{2x-xlnx-2a}{{x}^{3}}$，
设h（x）=2x-xlnx-2a，h′（x）=2-（1+lnx）=1-lnx，
由h′（x）=0，解得：x=e，
当1≤x＜e时，h′（x）＞0，当e＜x≤e²，h′（x）＜0，
且h（1）=2-2a，h（e）=e-2a，h（e²）=-2a，
显然h（1）＞h（e²），
若g（x）在[1，e²]上存在极值，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（e）＞0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（{e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，
当$\left\{\begin{array}{l}{h（e）＞0}\\{h（1）＜0}\end{array}\right.$，即1＜a＜$\frac{e}{2}$时，
则必定存在x₁，x₂∈[1，e²]，使得h（x₁）=h（x₂）=0，且1＜x₁＜x₁＜e²，
当x变化时，h（x），g′（x），g（x）的变化如表，

x	（1，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x1，e2）
h（x）	-	0	+	0	-
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	↓	极小值	↓	极小值	↓

当1＜a＜$\frac{e}{2}$时，g（x）在[1，e²]上的极值为g（x₁），g（x₂），且g（x₁）＜g（x₂），
由g（x₁）=$\frac{ln{x}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{a}{{x}_{1}^{2}}$-$\frac{1}{{x}_{1}}$=$\frac{{x}_{1}ln{x}_{1}-{x}_{1}+a}{{x}_{1}^{2}}$，
设φ（x）=xlnx-x+a，其中1＜a＜$\frac{e}{2}$，1≤x＜e，
则φ′（x）=lnx＞0，
∴φ（x）在（1，e）上单调递增，φ（x）=φ（1）=a-1＞0，
当且仅当x=1时，取等号；
∵1＜x₁＜e，g（x₁）＞0，
当1＜a＜$\frac{e}{2}$，g（x）在[1，e²]上的极值g（x₂）＞g（x₁）＞0，
当$\left\{\begin{array}{l}{h（1）≥0}\\{h（{e}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，即0＜a≤1时，
则必定存在x₃∈（1，e²），使得h（x₃）=0，
易知g（x）在（1，x₃）上单调递增，在（x₃，e²]上单调递减，
此时，g（x）在[1，e²]上的极大值时g（x₃），即g（x₃）＞g（e²）=$\frac{a+{e}^{2}}{{e}^{4}}$＞0，
当0＜a≤1时，g（x）在[1，e²]上存在极值，且极值都为正数，
综上可知：当0＜a＜$\frac{e}{2}$时，g（x）在[1，e²]上存在极值，且极值都为正数，

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，利用导数求函数的单调性及极值，考查分类讨论思想，属于难题．