Question

17．若抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$的上焦点重合．
（1）求抛物线方程；
（2）若AB是过抛物线焦点的动弦，直线l₁，l₂是抛物线两条分别切于A，B的切线，证明：直线l₁，l₂的交点在抛物线的准线上．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆中的c，可得抛物线中的p，即可求抛物线方程；
（2）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，由斜截式写出过焦点的直线方程，和抛物线方程联立求出A，B两点横坐标的积，再利用导数写出过A，B两点的切线方程，然后整体运算可求得两切线的交点的纵坐标为定值-1，从而得到两切线交点的轨迹方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$中a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
∵抛物线x²=2py（p＞0）的焦点与椭圆$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$的上焦点重合，
∴$\frac{p}{2}$=1，
∴2p=4，
∴抛物线方程为x²=4y；
（2）由抛物线x²=4y得其焦点坐标为F（0，1）．
设A（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），B（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），
直线l：y=kx+1，代入抛物线x²=4y得：x²-4kx-4=0．
∴x₁x₂=-4…①．
又抛物线方程为：y=$\frac{1}{4}{x}^{2}$，
求导得y′=$\frac{1}{2}$x，
∴抛物线过点A的切线的斜率为$\frac{{x}_{1}}{2}$，切线方程为y-$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{1}}{2}$（x-x₁）…②
抛物线过点B的切线的斜率为$\frac{{x}_{2}}{2}$，切线方程为y-$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$=$\frac{{x}_{2}}{2}$（x-x₂）…③
由①②③得：y=-1．
∴l₁与l₂的交点P的轨迹方程是y=-1，即直线l₁，l₂的交点在抛物线的准线上．

点评 本题考查了轨迹方程，训练了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了整体运算思想方法，是中档题．