Question

12．已知$cos（{\frac{π}{4}-θ}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$，且θ∈（0，π）．
（1）求$sin（{\frac{π}{4}+θ}）$的值；
（2）求sin⁴θ-cos⁴θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数的诱导公式即可求出$sin（{\frac{π}{4}+θ}）$的值；
（2）由$cos（{\frac{π}{4}-θ}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$可得$sinθ+cosθ=\frac{1}{5}$，两边平方得$2sinθcosθ=-\frac{24}{25}$，再结合θ的范围即可求出sinθ-cosθ的值，则sin⁴θ-cos⁴θ的值可求．

解答 解：（1）∵$cos（\frac{π}{4}-θ）=sin（θ+\frac{π}{4}）$，
∴$sin（{\frac{π}{4}+θ}）$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$；
（2）由$cos（{\frac{π}{4}-θ}）=\frac{{\sqrt{2}}}{10}$可得$sinθ+cosθ=\frac{1}{5}$，
两边平方得$2sinθcosθ=-\frac{24}{25}$，
∵θ∈（0，π），sinθ＞0，∴cosθ＜0，sinθ-cosθ＞0，
∵${（{sinθ-cosθ}）^2}=1-2sinθcosθ=\frac{49}{25}$，∴$sinθ-cosθ=\frac{7}{5}$．
sin⁴θ-cos⁴θ=sin²θ-cos²θ=$\frac{7}{25}$．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．