Question

给出下列5个命题：
①函数f（x）=-sin（kπ+x）（k∈Z）是奇函数；
②函数f（x）=tanx的图象关于点（kπ+

π

2

，0）（k∈Z）对称；
③函数f（x）=sin|x|是最小正周期为π的周期函数；
④设θ是第二象限角，则tan

θ

2

＞cot

θ

2

，且sin

θ

2

＞cos

θ

2

；
⑤函数y=cos²x+sinx的最小值是-1．
其中正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：①运用诱导公式和函数的奇偶性，即可判断；②由正切函数的图象的对称性，即可判断；
③可举反例，取x=

π

2

，则验证f（x+π）=f（x）是否成立；
④设θ是第二象限角，比如θ=

8π

3

，

θ

2

=

4π

3

，分别求出正弦、余弦、正切、余切值，即可判断；
⑤化简函数配方为y=-（sinx-

1

2

）²+

1

4

，通过sinx∈[-1，1]，求出函数的最小值．

解答： 解：①k为偶数时，f（x）=-sinx；k为奇数时，f（x）=sinx，不管怎样，都有f（-x）=-f（x），
函数是奇函数，故①对；
②由正切函数的图象，可知对称中心为（kπ，0），（kπ+

π

2

，0）（k为整数），故②对；
③若函数f（x）=sin|x|最小正周期为π的周期函数，则f（x+π）=f（x），取x=

π

2

，则
f（

3π

2

）=sin（

3π

2

）=-1，f（

π

2

）=1，矛盾，故③错；
④设θ是第二象限角，比如θ=

8π

3

，

θ

2

=

4π

3

，则tan

4π

3

=

3

，cot

4π

3

=

3

3

，sin

4π

3

=-

3

2

，
cos

4π

3

=-

1

2

，则tan

θ

2

＞cot

θ

2

，且sin

θ

2

＜cos

θ

2

，故④错；
⑤函数y=cos²x+sinx=-sin²x+sinx+1=-（sinx-

1

2

）²+

5

4

，当sinx=-1时，y的最小值为-1，
故⑤对．
故答案为：①②⑤．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查函数的奇偶性、周期性和对称性，及最值，考查三角函数的化简和求值，属于中档题．