Question

数列{a_n}中，a_n>0，a_n≠1，且(n∈N*).
(1)证明：a_n≠a_n+1；
(2)若，计算a₂，a₃，a₄的值，并求出数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

（1）祥见解析；（2）

解析试题分析：（1）利用反证法，若a_n+1=a_n，即，解得 a_n=0或1，结论与题干条件矛盾;（2）法一：根据，，求出，，，，观察各项分子通项为3^n-1，分母通项为3^n-1+1，于是可以写出通项公式a_n，进而可用数学归纳法加以证明．法二：由(n∈N*)，取倒数得，从而可转化为：这样就可选求出等比数列是以为首项，为公比，从而可写出其通项公式，进而就可求出数列{a_n}的通项公式．
试题解析：(1)证明：(反证法)若a_n=a_n+1，则由(n∈N*)，得，
得a_n=1，这与已知a_n≠1相悖，故a_n≠a_n+1.                   4分
(2)方法一：(举例-猜想-证明)
若，由(n∈N*)得，，
，，猜想：(n∈N*)，           8分
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，，所以当n=1时命题成立；      9分
②假设当n=k时，命题成立，即，
则当n=k+1时，，          12分
所以，当n=k+1时，命题也成立，故(n∈N*)，  13分
由①、②可知，对所有的自然数n，都有(n∈N*). 14分
(说明：其它方法请相应给分)
方法二：(利用数列递推关系求通项公式)
由(n∈N*)，取倒数得，
又，令2+3t=t，解得t=－1，
∴，
∴是以为首项，为公比的等比数列，
∴，∴，∴.
考点：１．反正法；２．数列递推式；３．数学归纳法．