Question

3．已知t为常数，且0＜t＜1，函数g（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1-t}{x}$）（x＞0）最小值和函数h（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2+t}$的最小值都是函数f（x）=-x³+ax²+bx（a，b∈R）的零点．
（1）用含a的式子表示b，并求出a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式可得g（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1-t}{x}$）≥$\sqrt{1-t}$；再由二次函数知h（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2+t}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1+t}$≥$\sqrt{1+t}$；从而可得$\sqrt{1-t}$，$\sqrt{1+t}$是方程-x²+ax+b=0的两个根；借助根与系数的关系可化简得b=1-$\frac{{a}^{2}}{2}$；再由-x²+ax+b=0的两根分别在（1，$\sqrt{2}$），（0，1）上可得$\sqrt{2}$＜a＜2；
（2）化简f（x）=-x³+ax²+（1-$\frac{{a}^{2}}{2}$）x，再求导f′（x）=-3x²+2ax+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$，从而可判断函数f′（x）在区间[1，2]上单调递减，函数f（x）在[1，2]上单调递减；从而求函数f（x）在区间[1，2]上的最值．

解答 解：（1）∵0＜t＜1，x＞0，
∴g（x）=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1-t}{x}$）≥$\sqrt{1-t}$；
（当且仅当x=$\frac{1-t}{x}$，即x=$\sqrt{1-t}$时，等号成立）
h（x）=$\sqrt{{x}^{2}-2x+2+t}$=$\sqrt{（x-1）^{2}+1+t}$，
故当x=1时，[h（x）]_min=$\sqrt{1+t}$；
∵0＜t＜1，
∴1＜$\sqrt{1+t}$＜$\sqrt{2}$，0＜$\sqrt{1-t}$＜1，
∵f（x）=-x³+ax²+bx=x（-x²+ax+b），
结合题意可知：$\sqrt{1-t}$，$\sqrt{1+t}$是方程-x²+ax+b=0的两个根，
∴$\sqrt{1-t}$+$\sqrt{1+t}$=a，$\sqrt{1-t}$$\sqrt{1+t}$=-b；
∴a²=2+2$\sqrt{1-t}$$\sqrt{1+t}$=2-2b；
∴b=1-$\frac{{a}^{2}}{2}$；
再由-x²+ax+b=0的两根分别在（1，$\sqrt{2}$），（0，1）上知，
$\left\{\begin{array}{l}{b=1-\frac{{a}^{2}}{2}＜0}\\{-1+a+1-\frac{{a}^{2}}{2}＞0}\\{-2+\sqrt{2}a+1-\frac{{a}^{2}}{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得，$\sqrt{2}$＜a＜2；
故b=1-$\frac{{a}^{2}}{2}$，（$\sqrt{2}$＜a＜2）．
（2）由（1）得：f（x）=-x³+ax²+（1-$\frac{{a}^{2}}{2}$）x，
则f′（x）=-3x²+2ax+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$，
∵$\sqrt{2}$＜a＜2，
∴二次函数f′（x）=-3x²+2ax+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$的图象开口向下，
对称轴为x=$\frac{a}{3}$＜$\frac{2}{3}$；
∴函数f′（x）在区间[1，2]上单调递减，
又f′（1）=-3+2a+1-$\frac{{a}^{2}}{2}$=-$\frac{1}{2}$（a-2）²＜0，
∴当x∈[1，2]时，f′（x）≤f′（1）＜0，
∴函数f（x）在[1，2]上单调递减；
∴函数f（x）的最大值为f（1）=a-$\frac{{a}^{2}}{2}$；最小值为f（2）=-a²+4a-6．

点评 本题考查了基本不等式在求最值中的应用，二次函数配方法求最值，根与系数的关系应用，同时考查了导数的综合应用及学生化简与运算的能力，属于难题．