【题目】已知函数,
.
(I)若函数在区间
上均单调且单调性相反,求
的取值范围;
(Ⅱ)若,证明:
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析.
【解析】分析:(I)先通过分析得到函数在
上单调递增,
在
上单调递减.再得到
在
上恒成立,再分离参数得到
,再求函数
的最大值,即可求得
的取值范围. (Ⅱ)先利用函数
在
上单调递增得到
,再证明
.再利用
在
上单调递减,
,再证明
.
详解:
(Ⅰ),
令
,由已知函数
在
上单调得:
在
上单调递增,
,而
,
所以得
所以在
上单调递减.
所以
在
上恒成立,
即,
令
所以在
上单调递增,
,
所以即
上单调递增,
(Ⅱ)在(Ⅰ)中,令在
上单调递增,
,即
,
令,得
,
在(I)中,令,
由在
上均单调递减得:
所以即
取得,
,
即,由
得:
综上:
点睛:本题难在第(Ⅱ)问,它主要是利用了第(I)的结论. 先利用函数在
上单调递增得到
,再给x赋值证明
.再利用
在
上单调递减,
,再给x赋值证明
.处理数学问题时,经常要注意利用联系的观点处理问题,学会利用前面的结论处理后面的问题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)证明:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】已知中心在原点,焦点在轴上的椭圆
的离心率为
,过左焦点
且垂直于
轴的直线交椭圆
于
两点,且
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)若圆上一点处的切线
交椭圆
于两不同点
,求弦长
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知某运动员每次投篮命中的概率低于,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示不命中;再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作,其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为:弧田面积=(弦×矢+矢2),弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,现有圆心角为
,半径等于
米的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
A. 平方米 B.
平方米
C. 平方米 D.
平方米
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