Question

【题目】已知椭圆离心率为，以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆O与直线：相切.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(0，1).

【解析】

（1）根据直线与圆相切的条件和椭圆的离心率可求得a，b，可得出椭圆的标准方程；

（2）设出直线的方程y＝kx＋m(m≠0)，将直线的方程与椭圆的方程联立得出交点P，Q的坐标间的关系，再由直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，得出0<m2<2且m2≠1，表示出△OPQ的面积可求得△OPQ面积的取值范围.

（1）由直线：与圆相切得：，由得，

又，，，

所以椭圆C的方程为；

(2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

由消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

则Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1)＝16(4k2－m2＋1)>0，且x1＋x2＝，x1x2＝.

故y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.

因为直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，所以·＝＝k2，

即＋m2＝0，又m≠0，所以k2＝，即k＝±.

由Δ>0，及直线OP，OQ的斜率存在，得0<m2<2且m2≠1.

S△OPQ＝|x1－x2||m|＝，

所以S△OPQ的取值范围为(0，1).