Question

设A={x|x²+3k²≥2k（2x-1）}，B={x|x²-（2x-1）k+k²≥0}，且A⊆B，试求k的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,集合的包含关系判断及应用

专题：不等式的解法及应用

分析：分别化简集合A，B，通过分类讨论，利用判别式与一元二次不等式的解集的关系及集合之间的关系即可得出．

解答： 解：对于集合A：由x²+3k²≥2k（2x-1），化为x²-4kx+3k²+2k≥0，△₁=4k²-8k=4k（k-2）．
对于B：x²-2kx+k+k²≥0，若△₂=4k²-4（k+k²）=-4k．
①当△₁≤0时，解得0≤k≤2，此时A=R，而△₂≤0，∴B=R，满足A⊆B．
②当△₁＞0时，解得k＞2或k＜0，
当k＞2时，A={x|x≥2k+

k2-2k

或x≤2k-

k2-2k

}，此时△₂＜0，∴B=R，满足A⊆B．
当k＜0时，A={x|x≥2k+

k2-2k

或x≤2k-

k2-2k

}，
此时△₂＞0，可得B={x|x≥k+

-k

或x≤k-

-k

}．
∵A⊆B，∴

2k+ k2-2k ≥k+ -k 2k- k2-2k ≤k- -k

，及k＜0，解得-

1

4

≤k＜0．
综上可知：k的取值范围是[-

1

4

，+∞)．

点评：本题考查了判别式与一元二次不等式的解集的关系、集合之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力，属于难题．