Question

15．如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2，E是PB上的点．
（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E是PB的中点，若AE与平面ABCD所成角为45°，求三棱锥P-ACE的体积．

Answer 1

分析 （I）利用勾股定理的逆定理得出AC⊥BC，由PC⊥平面ABCD得出AC⊥PC，故而AC⊥平面PBC，从而得出PMACE⊥平面PBC；
（II）取BC的中点F，连接EF，AF，则可证EF⊥平面ABCD，即∠EAF为AE与平面∠平面ABCD所成的角，利用勾股定理求出AF，则EF=AF．由E为PB的中点可知V_P-ACE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•EF$．

解答 证明：（Ⅰ）∵PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PC，
∵AB=2，AD=CD=1，
∴AC=BC=$\sqrt{2}$．
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
又BC?平面PBC，PC?平面PBC，BC∩PC=C，
∴AC⊥平面PBC，
又∵AC?平面EAC，
∴平面EAC⊥平面PBC．
解：（Ⅱ）取BC的中点F，连接EF，AF，
∵E，F是PB，BC的中点，
∴EF∥PC，
由PC⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD．
∴∠EAF为AE与平面ABCD所成角．即∠EAF=45°．
∵AF=$\sqrt{A{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∴EF=AF=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
∵E是PB的中点，
∴V_P-ACE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•EF$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{10}}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{6}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．