Question

已知点F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂为正三角形，则该椭圆的焦距与长轴的比值为

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先求出 AF₁ 的长，直角三角形AF₁；F₂ 中，由边角关系得tan30°=

3

3

=

|AF1|

|F1F2|

=

b2 a

2c

=，解方程能求出离心率的值．

解答： 解：∵点F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点，
过F₁且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，
把x=-c代入椭圆的方程可得y=

b2

a

，
∴AF₁ =

b2

a

，
∵△ABF₂为正三角形，
∴由tan30°=

3

3

=

|AF1|

|F1F2|

=

b2 a

2c

=

a2-c2

2ac

=

1-e2

2e

，
∴3e²+2

3

e-3=0，解得 e=-

3

3

（舍去），或e=

3

3

．
故答案为：

3

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，直角三角形中的边角关系，解方程求离心率的大小，属于中档题．