Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），P（x，y），Q（x′，y′）是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式
①a²+b²≥（x+y）²；
②

1

x2

+

1

y2

≥（

1

a

+

1

b

）²；
③4（

x

a

）²≤（

b

y

）²；
④

xx′

a2

+

yy′

b2

≤1．
其中不等式恒成立的序号是

 

．（填所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：椭圆的简单性质,不等式比较大小

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用三角换元，即可得出结论．

解答： 解：设x=asinα，y=bcosα，则x+y=

a2+b2

sin（α+θ），∴a²+b²≥（x+y）²，即①正确；
（

1

x2

+

1

y2

）a²b²=（

1

a2sin2α

+

1

b2cos2α

）a²b²=（sin²α+cos²α）（

b2

sin2α

+

a2

cos2α

）≥（a+b）²，
∴

1

x2

+

1

y2

≥（

1

a

+

1

b

）²，即②正确；

4x2y2

a2

=4b²sin²αcos²α=b²sin²2α≤b²，即③正确；
设x′=acosβ，y′=bsinβ，∴

xx′

a2

+

yy′

b2

=sin（α+β）≤1，即④正确．
故答案为：①②③④．

点评：本题考查椭圆方程，考查三角函数知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．