Question

已知函数f（x）=log

1

2

1-kx

x-1

为奇函数
（1）求常数k的值；
（2）设h（x）=

1-kx

x-1

，证明函数y=h（x）在（1，+∞）上是减函数；
（3）若函数g（x）=f（x）-(

1

2

)x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由于f（x）为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即可得出k；
（2）利用对数函数的单调性和不等式的性质通过作差即可得出；
（3）利用（2）函数f（x）的单调性、指数函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）=log

1

2

1-kx

x-1

为奇函数
∴f（-x）=-f（x），
即log

1

2

1+kx

-x-1

=-log

1

2

1-kx

x-1

，
∴1-k²x²=1-x²，整理得k²=1．
∴k=-1（k=1使f（x）无意义而舍去）．
（2）∵f（x）=log

1

2

1+x

x-1

=log2

x-1

x+1

设a＞b＞1时，
∴f（a）-f（b）=log₂

a-1

a+1

-log₂

b-1

b+1

=log₂（

a-1

a+1

•

b+1

b-1

）=log₂

ab+a-b-1

ab-a+b-1

∵a＞b＞1时，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，
∴

ab+a-b-1

ab-a+b-1

＞1，
从而log₂

ab+a-b-1

ab-a+b-1

＞0
即f（a）-f（b）＞0．
∴f（a）＞f（b）．
f（x）在（1，+∞）递增
（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）递增，
∴g（x）=f（x）-(

1

2

)x+m在[3，4]递增．
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴g（3）=log

1

2

1+3

3-1

-(

1

2

)3+m=-

9

8

+m＞0．
或g（4）=log

1

2

1+4

4-1

-(

1

2

)4+m=log

1

2

5

3

-

1

16

+m＜0，
∴m＞

9

8

或m＜

1

16

-log

1

2

5

3

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性、不等式的性质、分类讨论等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．