Question

15．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元（如图）．
（1）分别写出两种产品的收益和投资的函数关系；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大的收益，其最大收益为多少万元？

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法确定出f（x）与g（x）解析式即可；
（2）设设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20-x）万元，根据y=f（x）+g（x）列出二次函数解析式，利用二次函数的性质判断即可得到结果．

解答 解：（1）设f（x）=k₁x，g（x）=k₂$\sqrt{x}$，
由题意，可得f（1）=0.125=k₁，g（1）=k₂=0.5，
则f（x）=0.125x（x≥0），g（x）=0.5$\sqrt{x}$（x≥0）；
（2）设投资债券类产品x万元，则股票类投资为（20-x）万元，
由题意，得y=f（x）+g（20-x）=0.125x+0.5$\sqrt{20-x}$（0≤x≤20），
令t=$\sqrt{20-x}$，则有x=20-t²，
∴y=0.125（20-t²）+0.5t=-0.125（t-2）²+3，
当t=2，即x=16万元时，收益最大，此时y_max=3万元，
则投资债券等稳健型产品16万元，投资股票等风险型产品4万元获得收益最大，最大收益为4万元．

点评 此题考查了函数模型的选择与应用，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．