Question

18．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜1\\（7-a）x-4a，x≥1\end{array}\right.$满足对任意x₁≠x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，则a的取值范围是$（1，\frac{7}{6}]$．

Answer 1

分析 由已知可得函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜1\\（7-a）x-4a，x≥1\end{array}\right.$为增函数，列出不等式组，解得答案．

解答 解：∵对任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞0$成立，
∴函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{a^x}，x＜1\\（7-a）x-4a，x≥1\end{array}\right.$为增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{7-a＞0}\\{a≤7-a-4a}\end{array}\right.$，
解得：a∈（1，$\frac{7}{6}$]，
故答案为：$（1，\frac{7}{6}]$．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性，是解答的关键．