Question

在空间直角坐标系O-xyz中（O为坐标原点），点A、B、C的坐标分别为A（3，0，2）、B（3，1，0）、C（-1，1，0）．给出以下四个命题：
①AB⊥BC；
②异面直线OA与BC所成角的余弦值为-

3 13

13

；
③四棱锥O-ABC的体积为

4

3

；
④空间中到点B和点C等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为x=1，其轨迹是一条直线．
其中你认为正确的所有命题的序号为

 

．

Answer 1

考点：空间向量的数量积运算,共线向量与共面向量

专题：空间向量及应用

分析：①由

AB

=（0，1，-2），

BC

=（-4，0，0）．可得

AB

•

BC

=0，因此

AB

⊥

BC

；
②由

OA

•

BC

=-12，|

OA

|=

13

，|

BC

|=4，利用向量的夹角公式可得cos＜

OA

，

BC

＞=

OA • BC

| OA || BC |

，而异面直线OA与BC所成角为锐角或直角，不为钝角；
③设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB =y-2z=0 n • BC =-4x=0

，可得

n

=（0，2，1）．而点O到平面ABC的距离h=

| n • OA |

| n |

=

2

5

．S_△ABC=

1

2

|

BA

|

BC

|．即可得出四棱锥O-ABC的体积V=

1

3

S△ABC•h；
④空间中到点B和点C等距离的动点P（x，y，z）的满足|PB|=|PC|，利用两点之间的距离公式可得轨迹方程为一个平面．

解答： 解：①∵

AB

=（0，1，-2），

BC

=（-4，0，0）．
∴

AB

•

BC

=0，∴

AB

⊥

BC

，∴AB⊥BC；
②∵

OA

•

BC

=-12，|

OA

|=

13

，|

BC

|=4，∴cos＜

OA

，

BC

＞=

OA • BC

| OA || BC |

=

-12

4 13

=-

3 13

13

．
∴异面直线OA与BC所成角的余弦值为

3 13

13

，因此不正确；
③设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），则

n • AB =y-2z=0 n • BC =-4x=0

，令y=2，解得z=1，x=0．∴

n

=（0，2，1）．
∴点O到平面ABC的距离h=

| n • OA |

| n |

=

2

5

．而S_△ABC=

1

2

|

BA

|

BC

|=

1

2

×

5

×4=2

5

．
∴四棱锥O-ABC的体积V=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×2

5

×

2

5

=

4

3

；
④空间中到点B和点C等距离的动点P（x，y，z）的轨迹方程为

(x-3)2+(y-1)2+z2

=

(x+1)2+(y-1)2+z2

，化为x=1，其轨迹是有关平面．
综上可得：其中正确的所有命题的序号为①③．
故答案为：①③．

点评：本题考查了空间向量坐标运算、向量夹角公式、向量垂直与数量积的关系、点到直线的距离公式、三棱锥的体积计算公式、两点之间的距离公式，考查了空间想象能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．