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某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的体积为立方米,且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为千元,设该容器的建造费用为千元.

(Ⅰ)写出关于的函数表达式,并求该函数的定义域;
(Ⅱ)求该容器的建造费用最小时的
(Ⅰ);(Ⅱ)当时,建造费用最小时时,建造费用最小时.

试题分析:(Ⅰ)由圆柱和球的体积的表达式,得到l和r的关系.再由圆柱和球的表面积公式建立关系式,将表达式中的l用r表示.并注意到写定义域时,利用l≥2r,求出自变量r的范围;(Ⅱ)用导数的知识解决,注意到定义域的限制,在区间(0,2]中,极值未必存在,将极值点在区间内和在区间外进行分类讨论.
试题解析:(I)设容器的容积为V,由题意知

由于因此                          .3分
所以建造费用
因此                       ..5分
(II)由(I)得
由于   
;所以          .7分
(1)当时,

所以是函数y的极小值点,也是最小值点。           .10分
(2)当时, 当函数单调递减,
所以r=2是函数y的最小值点,
综上所述,当时,建造费用最小时
时,建造费用最小时                13分
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