Question

6．已知曲线C₁的方程为x²+y²-8x-10y+16=0．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2sin θ．
（1）把C₁的方程化为极坐标方程；
（2）求C₁与C₂交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

分析 （1）由将ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsin θ，能把C₁的方程化为极坐标方程；
（2）联立方程组求解交点的直角坐标，然后直接化为极坐标．

解答 解：（1）将ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsin θ代入x²+y²-8x-10y+16=0，
得ρ²-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0．
所以C₁的极坐标方程为ρ²-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0．
（2）∵ρ=2sin θ，
∴C₂的普通方程为x²+y²-2y=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}-8x-10y+16=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2y=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$．
所以C₁与C₂交点的极坐标分别为（2，$\frac{π}{2}$）或（$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$）．

点评 本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查两曲线的交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．