Question

7．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{12}$）的图象经过点P（-$\frac{π}{12}$，0），图象上与点P最近的一个最高点是Q（$\frac{5π}{12}$，1）．
（1）求ω的值；
（2）若cosθ=$\frac{4}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），求f（2θ-$\frac{π}{3}$）．

Answer 1

分析 （1）由条件利用正弦函数的周期性求得φ的值．
（2）由（1）可知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{12}$），可得f（2θ-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2θ-cos2θ）．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式求得sin2θ 和cos2θ 的值，可得f（2θ-$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（1）由题意可得$\frac{1}{4}$T=$\frac{π}{2ω}$=$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{12}$=$\frac{π}{2}$，求得ω=1．
（2）由（1）可知函数f（x）=sin（x+$\frac{π}{12}$），故f（2θ-$\frac{π}{3}$）=sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2θ-cos2θ）．
再根据cosθ=$\frac{4}{5}$，θ∈（0，$\frac{π}{2}$），可得sinθ=$\frac{3}{5}$，sin2θ=2sinθcosθ=$\frac{24}{25}$，cos2θ=2cos²θ-1=$\frac{7}{25}$，
∴f（2θ-$\frac{π}{3}$）=sin（2θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（sin2θ-cos2θ）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\frac{24}{25}$-$\frac{7}{25}$）=$\frac{17\sqrt{2}}{50}$．

点评 本题主要考查正弦函数的周期性，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，属于基础题．