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如图,F是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一个焦点,A、B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为
1
2
,点C在x轴上,BC⊥BF,由B、C、F三点确定的圆M恰好与直线x+
3
y+3=0
相切.
(I)求椭圆的方程;
(II)过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P、Q两点,若在x轴上存在一点N(x0,0),使得直线NP与直线NQ关于x轴对称,求x0的值.
(I)由题意可知F(-c,0)
e=
1
2
,∴b=
3
c,即B(0,
3
c)
,∴kBF=
3
c
0-(-c)
=
3

又∵BC⊥BF,∴kBC=-
3
3

∴C(3c,0),∴圆M的圆心坐标为(c,0),半径为2c由直线x+
3
y+3=0与圆M相切可得
|c+3|
1+(
3
)
2
=2c,
∴c=1,∴椭圆的方程为
x2
4
+
y2
3
=1


(II)由题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0),设P(x1,y1),Q(x2,y2
∵直线NP与直线NQ关于x轴对称,
∴kNP=-kNQ,即
y1
x1-x0
=-
y2
x2-x0

k(x1+1)
x1-x0
=-
k(x2+1)
x2-x0
,∴x0=
x1+x2+2x1x2
x1+x2+2

y=k(x+1)
x2
4
+
y2
3
=1
,∴3x2+4k2(x+1)2=12
∴(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0,
x1+x2=-
8k2
3+4k2
x1x2=
4k2-12
3+4k2

x0=
-
8k2
3+4k2
+
8k2-24
3+4k2
2-
8k2
3+4k2
=-4
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知平面内动点P到两定点F1,F2的距离的和等于常数2a,关于动点P的轨迹正确的说法是______.
①点P的轨迹一定是椭圆;
②2a>|F1F2|时,点P的轨迹是椭圆;
③2a=|F1F2|时,点P的轨迹是线段F1F2
④点P的轨迹一定存在;
⑤点P的轨迹不一定存在.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知p:方程
x2
m-1
+
y2
m+3
=1
表示椭圆,q:方程x2+y2-4x+2my+m+6=0表示圆,若p真q假,求实数m的取值范围.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆于A、B两点.若线段AB的中点坐标为(1,-1),则椭圆的方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(  )
A.
x2
45
+
y2
36
=1
B.
x2
36
+
y2
27
=1
C.
x2
27
+
y2
18
=1
D.
x2
18
+
y2
9
=1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆的对称轴为坐标轴,短轴的一个端点和两个焦点的连线构成一个正三角形,且焦点到椭圆上的点的最短距离为
3
,则椭圆的方程为(  )
A.
x2
12
+
y2
9
=1
B.
x2
9
+
y2
12
=1
x2
12
+
y2
3
=1
C.
x2
12
+
y2
3
=1
D.
x2
12
+
y2
9
=1
x2
9
+
y2
12
=1

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率为
1
2
,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,若椭圆C的焦距为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M为椭圆上任意一点,以M为圆心,MF1为半径作圆M,当圆M与直线l:x=
a2
c
有公共点时,求△MF1F2面积的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.求椭圆方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,A、B、C分别为椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的顶点和焦点,若∠ABC=90°,则该椭圆的离心率为______.

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