Question

已知函数f（x）=sin²2x+

3

sin2x•cos2x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[

π

8

，

π

4

]，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由倍角公式和两角和与差的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=sin（4x-

π

6

）+

1

2

．由正弦函数的周期公式即可得解．
（Ⅱ）由x∈[

π

8

，

π

4

]，可得4x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，由正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的最大值与最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=sin²2x+

3

sin2x•cos2x=

3

2

sin4x-

1

2

cos4x+

1

2

=sin（4x-

π

6

）+

1

2

．
∴T=

2π

4

=

π

2

，
∴f（x）的最小正周期是

π

2

．
（Ⅱ）∵x∈[

π

8

，

π

4

]，
∴4x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，
∴sin（4x-

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴f（x）的最大值是1+

1

2

=

3

2

，最小值是

1

2

+

1

2

=1．

点评：本题主要考查了倍角公式和两角和与差的正弦函数公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．