Question

17．设数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设 b_n=log₂a_n，${c_n}=\frac{3}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$，记数列 {c_n}的前n项和T_n，若 ${T_n}＜\frac{m}{3}$对所有的正整数 n都成立，求最小正整数 m的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得数列{a_n}是等比数列，并求出首项和公比，则数列{a_n}的通项公式可求；
（2）把数列{a_n}的通项公式代入 b_n=log₂a_n，得到${c_n}=\frac{3}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$的通项公式，然后利用裂项相消法求得数列 {c_n}的前n项和T_n，并求其最大值，再由最大值小于$\frac{m}{3}$求得最小正整数 m的值．

解答 解：（1）由S_n=2a_n-a₁，得a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n＞1），
即a_n=2a_n-1（n＞1），从而a₂=2a₁，a₃=4a₁，
又∵a₁，a₂+1，a₃成等差数列，∴a₁+a₃=2（a₂+1），
即a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2．
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
则${a}_{n}={2}^{n}$；
（2）由（1）得，
${b_n}={log_2}{2^n}=n$，${c_n}=\frac{3}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{3}{{n（{n+1}）}}$，
∴${T_n}=3（{\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+…+\frac{1}{{n（{n+1}）}}}）=3（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=3（{1-\frac{1}{n+1}}）$．
∴T_n的最大值为3，
若${T_n}＜\frac{m}{3}$对所有的正整数 n都成立，只要 $3＜\frac{m}{3}$即可，
∴m＞9，故整数m的最小值为10．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．