Question

4．如图是一个四面体的三视图，图中三个三角形均为直角三角形，且面积之和为8，则其外接球的表面积的最小值为（　　）

• A． 16π
• B． 8π
• C． $\frac{32π}{3}$
• D． $\frac{16π}{3}$

Answer 1

分析 三视图复原几何体是三棱锥，扩展为长方体设出长方体的三度，利用面积之和，基本不等式求出几何体的外接球的直径，然后求出面积的最小值．

解答 解：三视图复原几何体是三棱锥，
它的外接球的直径就是几何体扩展为长方体的体对角线的长，
长方体的三度为：a，b，c；
所以ab+bc+ac=16，长方体的对角线为$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$≥$\sqrt{ab+bc+ac}$=4，
当且仅当a=b=c时取等号，
所以几何体的外接球的表面积的最小值为：4π•2²=16π．
故选A．

点评 本题是基础题，考查三视图复原几何体的图形的判断，几何体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，注意基本不等式等号成立的前提．