Question

给出以下判断：
①已知定点A（-5，0），B（5，0）和动点C，且满足AC，BC所在直线斜率之积为2，则动点C连同点A，B的轨迹为双曲线；
②已知圆C₁：（x-4）²+y²=169，圆C₂：（x+4）²+y²=9，有一动圆在圆C₁的内部且和圆C₁内切，和圆C₂相外切，则动圆圆心的轨迹为椭圆；
③已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图1），P是侧面BB₁C₁C内的动点，若P到直线BC和直线C₁D₁的距离相等，则动点P的轨迹是线段；
④已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如图2），M为AB中点，棱长为2，P是底面ABCD上的动点，且满足条件PD₁=
3PM，则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是圆．其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：①根据斜率的计算公式和双曲线的标准方程即可得出；
②利用两圆相内切和外切的性质、椭圆的定义即可得出；
③利用抛物线的定义即可得出；
④设点P（x，y），由于满足条件PD₁=3PM，利用两点间的距离公式即可得出．

解答： 解：①设动点C（x，y），由题意可得k_ACk_BC=2，∴

y

x+5

•

y

x-5

=2（x≠±5），
化为

x2

25

-

y2

50

=1（x≠±5）．因此动点C连同点A，B的轨迹为双曲线

x2

25

-

y2

50

=1，正确；
②设动圆的圆心为C（x，y），半径为R，由题意可得：|CC₁|=R+3，|CC₂|=13-R，
∴|CC₁|+|CC₂|=16＞|C₁C₂|=8，因此动圆圆心的轨迹为椭圆，正确；
③点P到直线C₁D₁的距离即点P到点C₁的距离，在平面BCC₁B₁内，到定点C₁与到定直线BC的距离相等（定点不在定直线上），则动点P的轨迹是抛物线的一部分，因此不正确；
④设点P（x，y），x，y∈[0，2]，
∵满足条件PD₁=3PM，∴

|DD1|2+|DP|2

=3|PM|，
∴2²+x²+y²=9[（x-2）²+（y-1）²]，化为(x-

9

4

)2+(y-

9

8

)2=

77

64

，
∵x，y∈[0，2]，
则动点P在底面ABCD上形成的轨迹是圆的一部分，因此不正确．
综上可知：只有①②正确．
故答案为：①②．

点评：本题综合考查了斜率的计算公式、双曲线的标准方程、两圆相内切和外切的性质、椭圆的定义、抛物线的定义、两点间的距离公式、圆的标准方程等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．