【题目】已知函数,
(
为自然对数的底数).
(1)若函数的图象在
处的切线方程为
,求
,
的值;
(2)若时,函数
在
内是增函数,求
的取值范围;
(3)当时,设函数
的图象
与函数
的图象
交于点
、
,过线段
的中点
作
轴的垂线分别交
、
于点
、
,问是否存在点
,使
在
处的切线与
在
处的切线平行?若存在,求出
的横坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1),
;(2)
;(3)不存在.
【解析】试题分析:
(1)利用导函数与切线的关系得到方程,解方程可得,
;
(2)函数为增函数,则即
在
内恒成立,处理恒成立问题可得
的取值范围是
;
(3) 假设在点
处的切线与
在点
处的切线平行,则
,
①,讨论可得矛盾,假设不成立,
故在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.
试题解析:(1)当时,
,导数
,
,
即函数的图象在
处的切线斜率为
,切点为
,
函数
的图象在
处的切线方程为
,
,
,
,
;
(2)时,函数
在
的解析式是
,
导数,
函数
在
内是增函数,
即
在
内恒成立,
,
时,
.
,故
的取值范围是
;
(3)假设在点
处的切线与
在点
处的切线平行,
设点,
,
,
则由题意得点、
的横坐标与中点
的横坐标相等,且为
,
时,
,
,
在点
处的切线斜率为
,
由于两切线平行,则,
即,则两边同乘以
,得,
,
,
,
设,则
,
①,
令,
,则
,
,
,
在
上单调递增,
,
,这与①矛盾,假设不成立,
故在点
处的切线与
在点
处的切线不平行.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图, 为圆
的直径,点
在圆
上,
,矩形
所在的平面与圆
所以的平面互相垂直,已知
.
(1)求证:平面平面
;
(2)当的长为何值时,平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在如图所示的几何体中,四边形是菱形,
是矩形,平面
平面
,
,
,
,
为
的中点.
(1)求证: 平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使二面角
的大小为
?若存在,求出
的长
,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
,曲线
为参数), 以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)若射线分别交
于
两点, 求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数.
(I)求函数的单调区间;
(II)若函数的图像在点
处的切线的倾斜角为
,问:
在什么范围取值时,对于任意的
,函数
在区间
上总存在极值?
(III)当时,设函数
,若在区间
上至少存在一个
,使得
成立,试求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某少数民族的刺绣有着悠久的历史,如图(1),(2),(3),(4)为最简单的四个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第个图形包含
个小正方形.
(1)求出的值;
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”,归纳出与
之间的关系式,并根据你得到的关系式求出
的表达式.
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