Question

已知函数f（x）=-x³+x²（x∈R），g（x）满足g′（x）=

a

x

（a∈R，x＞0），且g（e）=a，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）已知h（x）=e^1-xf（x），求h（x）在（1，h（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x²+（a+2）x成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）写出h（x）的表达式，求出导数，求出切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（Ⅱ）设出g（x）的表达式，由g（e）=a，求出g（x），运用参数分离得到a≤

x2-2x

x-lnx

，令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，运用导数由条件可知求出最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）h（x）=e^1-xf（x）=（-x³+x²）e^1-x，
h′（x）=（x³-4x²+2x）e^1-x，
∴h（1）=0，h′（1）=-1，
∴h（x）在（1，h（1））处的切线方程为：y=1-x；
（Ⅱ）∵g′（x）=

a

x

（a∈R，x＞0），
∴g（x）=alnx+c，∴g（e）=a+c=a，c=0，即g（x）=alnx，
由g（x）≥-x²+（a+2）x得（x-lnx）a≤x²-2x，
由于x∈[1，e]，lnx≤1≤x，且等号不能同时成立，则lnx＜x，
从而a≤

x2-2x

x-lnx

，由于存在x∈[1，e]，使得g（x）≥-x²+（a+2）x成立，
则a≤

x2-2x

x-lnx

的最大值，
令t（x）=

x2-2x

x-lnx

，t′（x）=

(x-1)(x+2-2lnx)

(x-lnx)2

，
∵x∈[1，e]，∴x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
∴t′（x）≥0，t（x）在[1，e]上递增，
∴t（x）_max=t（e）=

e2-2e

e-1

，
故a≤

e2-2e

e-1

．

点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程，求最值，同时考查不等式的存在性问题转化为求函数的最值问题，注意与恒成立问题的区别，是一道易错题．