Question

6．已知函数f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$（a＞0）．
（1）求f（x）在[$\frac{1}{2}$，2]上的最大值；
（2）若直线y=-x+2a为曲线y=f（x）的切线，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）即为$\frac{9}{ax+\frac{1}{x}}$，令t=ax+$\frac{1}{x}$，运用导数，对a讨论，判断单调性，求得最小值，即可得到f（x）的最大值；
（2）设出切点为（m，n），求出f（x）的导数，求出切线的斜率，由已知切线的方程可得am²=2或5，再由切点在切线上和曲线上，满足它们的方程，解方程即可得到a的值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$=$\frac{9}{ax+\frac{1}{x}}$（a＞0），
令t=ax+$\frac{1}{x}$（$\frac{1}{2}$≤x≤2），导数为t′=a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
当$\sqrt{\frac{1}{a}}$≥2，即0＜a≤$\frac{1}{4}$，t′＜0，函数t递减，可得t=2取得最小值2a+$\frac{1}{a}$，
函数f（x）取得最大值$\frac{9a}{2{a}^{2}+1}$；
当$\frac{1}{2}$≤$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜2，即$\frac{1}{4}$＜a≤4，函数t在（$\frac{1}{2}$，$\sqrt{\frac{1}{a}}$）递减，在（$\sqrt{\frac{1}{a}}$，2）递增，
可得t=$\sqrt{\frac{1}{a}}$取得最小值2$\sqrt{a}$，
函数f（x）取得最大值$\frac{9\sqrt{a}}{2a}$；
当$\sqrt{\frac{1}{a}}$＜$\frac{1}{2}$，即a＞4，t′＞0，函数t递增，可得t=$\frac{1}{2}$取得最小值2+$\frac{1}{2}$a，
函数f（x）取得最大值$\frac{18}{a+4}$；
（2）设切点为（m，n），则n=$\frac{9m}{1+a{m}^{2}}$，①
函数f（x）=$\frac{9x}{1+a{x}^{2}}$（a＞0）的导数为f′（x）=$\frac{9-9a{x}^{2}}{（1+a{x}^{2}）^{2}}$，
由切线方程y=-x+2a，可得
n=-m+2a，$\frac{9-9a{m}^{2}}{（1+a{m}^{2}）^{2}}$=-1，②
由①②可得，am²=2或5，
当am²=2，可得n=3m=2a-m，即a=2m，解得a=2；
当am²=5，可得n=$\frac{3}{2}$m=2a-m，即a=$\frac{5}{4}$m，解得a=$\frac{5}{4}$$\root{3}{4}$．
故实数a的值为2或$\frac{5}{4}$$\root{3}{4}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和判断单调性、求极值和最值，主要考查导数的几何意义和函数单调性的运用，设出切点和正确求导是解题的关键．