Question

6．已知$\overrightarrow a=（sinx，-cosx），\overrightarrow b=（\sqrt{3}cosx，-cosx），f（x）=2\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求的f（x）解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若f（A）=2，b=1，△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积公式，结合二倍角、辅助角公式，即可求f（x）的解析式；
（2）求出A，c，利用余弦定理求a的值．

解答 解：（1）由题意，f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1…（5分）
（2）∵$f（A）=2sin（2A+\frac{π}{6}）+1=2$，∴$sin（2A+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），∴$2A+\frac{π}{6}∈（\frac{π}{6}，\frac{13π}{6}）$，∴A=$\frac{π}{3}$，
∵△ABC的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，∴$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴c=2，
∴a=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．