Question

已知函数f（x）=x⁴-4x³-4x²-1．
（1）设g（x）=bx²-1，若方程f（x）=g（x）的解集恰好有3个元素，求b的取值范围；
（2）在（1）的条件下，是否存在实数对（m，n），使f（x-m）+g（x-n）为偶函数？如存在，求出m、n；如不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）把f（x）和g（x）代入方程f（x）=g（x），因式分解，转化为一元二次方程根的问题，求得b的取值范围．
（2）根据偶函数的性质得到关于m，n的方程组，解得即可．

解答： 解：（1）由f（x）=g（x）可得x²（x²-4x+4-b）=0，
由题意知此方程有三个不相等的实数根，
此时x=0为方程的一实数根，则方程x²-4x+4-b=0应有两个不相等的非零实根，
∴△＞0，且4-b≠0，
即（-4）²-4（4-b）＞0且b≠4，
解得b＞0且b≠4，
∴所求b的取值范围是（0，4）∪（4，+∞）．
（2）解：f（x-m）+g（x-n）=x⁴-4x³（m+1）+2x²（3m²+6m-2+

b

2

）-2x（2m³+6m²+4m-bn）+m⁴+4m²+bn²-2为偶函数，
∴

m+1=0 2m3+6m2+4m-bn=0

解得

m=-1 bn=0

  
由（2）知b≠0
∴m=-1，n=0．

点评：以本题主要考查了偶函数的性质及一元二次方程根的存在性的判定，体现了数形结合的思想方法，属中档题．