Question

已知数列{a_n}的前三项分别为a₁=

λ

，a₂=

λ+2

，a₃=

λ+4

，（其中λ为正常数）．设f（x）=a₁²x+a₂²x²+a₃²x³+…a_n²xⁿ．
（1）归纳出数列{a_n}的通项公式，并证明数列{a_n}不可能为等比数列；
（2）若λ=1，求f（2）的值；
（3）若λ=4，试证明：当n≥2时，a_n+1+a_n-1＜2a_n．

Answer 1

考点：归纳推理,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,推理和证明

分析：（1）由已知中a₁=

λ

，a₂=

λ+2

，a₃=

λ+4

，可知数列被开方数是一个以λ为首项，以2为公差的等差数列，进而归纳出数列{a_n}的通项公式，进而根据等比数列的定义，可得数列{a_n}不可能为等比数列；
（2）若λ=1，可得数列{a_n}的通项公式，进而得到f（x）的表达式，利用错位相减法，可得f（2）的值；
（3）若λ=4，可得数列{a_n}的通项公式，进而利用分析法可证得当n≥2时，a_n+1+a_n-1＜2a_n．

解答： 解：（1）数列{a_n}的通项公式为an=

2n+λ-2

． …（2分）
下面证明数列{a_n}不可能为等比数列：
假设数列{a_n}为等比数列，则a22=a1a3，
即

λ+2

2=

λ

λ+4

（λ＞0），
即

λ2+4λ+4

=

λ2+4λ

（λ＞0），
由λ²+4λ+4≠λ²+4λ，
故数列{a_n}不可能为等比数列；
（2）若λ=1，则an=

2n-1

，
则a_n²=2n-1，
∴f（x）=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ．
∴f（2）=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）×2^n-1+（2n-1）×2ⁿ．…①，
∴2f（2）=2×2+3×2³+5×2⁴+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．…②，
①-②得：
-f（2）=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺²+2ⁿ⁺¹-6．
∴f（2）=（n-1）2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹+6．
（3）若λ=4，an=

2n+2

当n≥2时，欲证 a_n+1+a_n-1＜2a_n，
只需证 

2n+4

+

2n

＜2

2n+2

只需证 

2n+4

2+2

2n+4

•

2n

+

2n

2＜4

2n+2

2
只需证  

n2+2n

＜n+1
只需证  

n2+2n

2＜(n+1)2
只需证  0＜1
显然 不等式0＜1成立，
因此 当n≥2时，a_n+1+a_n-1＜2a_n．                …（14分）

点评：本题考查的知识点是归纳推理，等比数列的证明，数列求和，不等式证明，是数列，不等式，函数，推理与证明的综合应用，综合性强，难度大．