Question

已知函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R，ab≠0），给出下列命题：
①存在a，b使f（x）是奇函数；
②若对任意x∈R，存在x₁，x₂，使f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为π；
③过点（a，b）作直线l，则直线l与函数f（x）=asinx+bcosx（x∈R，ab≠0）的图象必有交点；
④若对任意x∈R，|f（x）|≥|f（

3π

4

）|，则a=b；
⑤若tanα=

a

b

，则f（α）=±

a2+b2

．
其中正确的是

 

（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：①若f（x）是奇函数，由f（-x）=-f（x）得b=0，即可判断；
②函数的最小正周期为2π，由条件得，最小值为π，即可判断；
③由于点（a，b）在f（x）的图象与x轴围成的图形之间，故直线l与函数f（x）的图象必有交点，故可判断；
④若对任意x∈R，|f（x）|≥|f（

3π

4

）|，则|

2

2

（a-b）|≤0，即可判断；
⑤若tanα=

a

b

，则f（α）=asinα+bcosα=btanα•sinα+bcosα化简即可得到．

解答： 解：①若f（x）是奇函数，由f（-x）=-f（x）得b=0，由于ab≠0，故①错；
②函数的最小正周期为2π，若对任意x∈R，存在x₁，x₂，使f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，
则|x₁-x₂|的最小值为π，故②对；
③过点（a，b）作直线l，若直线为x=a，代入f（x），则f（a）存在；若直线为y=b，由于f（x）的最大值为

a2+b2

＞|b|，故有交点；由于点（a，b）在f（x）的图象与x轴围成的图形之间，故直线l与函数f（x）的图象必有交点，故③对；
④若对任意x∈R，|f（x）|≥|f（

3π

4

）|，则|

2

2

（a-b）|≤0，但|

2

2

（a-b）|≥0，则a-b=0，故④对；
⑤若tanα=

a

b

，则f（α）=asinα+bcosα=btanα•sinα+bcosα=

b

cosα

=b•（±

a2+b2

b

）=±

a2+b2

，
故⑤对．
故答案为：②③④⑤

点评：本题考查三角函数的奇偶性、周期性、最值和图象交点问题，考查三角公式的运用，属于中档题．