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    3．在区间[0，1]上给定曲线y=x2．试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

    分析 先利用定积分分别表示出阴影部分的面积S1与S2，然后求出S1+S2关于t的函数解析式和定义域，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最小值．

    解答 解　S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y=x2与x轴、直线x=t所围成的面积，即S1=t•t2-?${\;}_{0}^{t}$x2dx=$\frac{2}{3}$t3．
    S2的面积等于曲线y=x2与x轴，x=t，x=1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，1-t，即S2=?${\;}_{t}^{1}$x2dx-t2（1-t）=$\frac{2}{3}$t3-t2+$\frac{1}{3}$．
    所以阴影部分面积S=S1+S2=$\frac{4}{3}$t3-t2+$\frac{1}{3}$（0≤t≤1）．
    令S′（t）=4t2-2t=4t（t-$\frac{1}{2}$）=0时，得t=0或t=$\frac{1}{2}$．
    当t=0时，S=$\frac{1}{3}$；
    当t=$\frac{1}{2}$时，S=$\frac{1}{4}$；
    当t=1时，S=$\frac{2}{3}$．
    综上所述，当t=$\frac{1}{2}$时，S最小，且最小值为$\frac{1}{4}$．

    点评 本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，属于中档题．

    练习册系列答案
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    13．在同一直角坐标系中，方程$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$所对应的图形经过伸缩变换$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{1}{3}x}\\{y′=\frac{1}{2}y}\end{array}\right.$后的图形所对应的方程为（　　）
    A．$\frac{x^2}{81}+\frac{y^2}{16}=1$B．x2+y2=1C．$\frac{x^2}{27}+\frac{y^2}{8}=1$D．$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    14．给出下列例题：
    ①若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则函数f（x）为周期函数；
    ②函数f（x）=（x-3）e-x的单调递增区间为（2，+∞）；
    ③若函数f（x）=f'（$\frac{π}{4}$）cosx+sinx，则f（$\frac{π}{4}$）的值为1；
    ④函数f（x）=2|x||log0.5x|-1的零点的个数为2，
    其中真命题是①③④（将你认为真命题的序号都填上）

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    11．以下四个命题中：
    ①已知圆C上一定点A和一动点B，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}（{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}$），则动点P的轨迹为圆；
    ②设A、B为两个定点，k为非零常数，|$\overrightarrow{PA}}$|-|${\overrightarrow{PB}}$|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
    ③0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C1：$\frac{x^2}{{{{cos}^2}θ}}-\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}$=1与C2：$\frac{y^2}{{{{sin}^2}θ}}-\frac{x^2}{{{{sin}^2}θ{{tan}^2}θ}}$=1的离心率相同；
    ④已知两定点F1（-1，0），F2（1，0）和一动点P，若|PF1|•|PF2|=a2（a≠0），则点P的轨迹关于原点对称．
    其中正确命题的序号为①③④        ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    18．下列说法
    ①当x＞0且x≠1时，有lnx+$\frac{1}{lnx}$≥2；
    ②△ABC中，a＞b是sinA＞sinB 成立的充要条件；
    ③函数y=3sin2x+$\sqrt{3}$cos2x的图象可以由函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位得到；
    ④已知sn是等差数列{an}的前n项和，若S7＞S5，则S9＞S3．；
    ⑤函数y=f（1+x）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．
    其中正确的命题的序号为②④．

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    科目：高中数学 来源： 题型：填空题

    8．若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y=f（x）的图象上；②P，Q关于原点对称．则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”）．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x＞0}\\{-{x}^{2}-4x，x≤0}\end{array}\right.$则此函数的“友好点对”有2对．

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    15．设函数f（x）=e3x-1，则f″（$\frac{1}{3}$）=9．

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    12．已知函数f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，且$\overrightarrow a$=（cos2x+1，1），$\overrightarrow b$=（1，$\sqrt{3}$sin2x-1）．
    （1）求函数f（x）的最小正周期、最大值和最小值；
    （2）求函数f（x）的单调递减区间．

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    13．已知f（x）=cosxsinx-$\sqrt{3}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
    （1）求f（x）的单调增区间；
    （2）在△ABC中，A为锐角且f（A）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{AD}$，AB=$\sqrt{3}$，AD=2，求sin∠BAD．

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