Question

已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足：①f（x）-a^x•g（x）=0，②g（x）≠0③

f(1)

g(1)

+

f(-1)

g(-1)

=

5

2

，④f′(x)•g(x)＜f(x)•g′(x)，设数列{

f(n)

g(n)

}(n∈N+)的前n项和为S_n，则S_n的取值范围是（　　）

• A、(0，

  1

  2

  )
• B、[

  1

  2

  ，1)
• C、[1，

  3

  2

  )
• D、[

  3

  2

  ，2)

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：分别令x等于1和x等于-1代入①得到两个关系式，把两个关系式代入②得到关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，根据f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x）可知函数

f(x)

g(x)

=a^x是减函数，对求得的a进行取舍，求出数列{a_n}的通项公式，进而求得其前n项和S_n，即可求得结果．

解答： 解：令x=1，由①得到f（1）=a•g（1）；令x=-1，f（-1）=

g(-1)

a

，
分别代入②得：a+

1

a

=

5

2

，化简得2a²-5a+2=0，
即（2a-1）（a-2）=0，
解得a=2或a=

1

2

．
∵f′（x）•g（x）＜f（x）•g′（x），
∴[

f(x)

g(x)

]′＜0，
∴

f(x)

g(x)

=a^x是减函数，故a=

1

2

，
∴a_n=

f(n)

g(n)

=

1

2n

，
∴S_n=1-

1

2n

，
∵0＜

1

2n

≤

1

2

，
∴

1

2

≤1-

1

2n

＜1
故选：B．

点评：此题考查学生会利用有理数指数幂公式化简求值，利用导数研究函数的单调性，等比数列求和等知识，综合性强，根据已知求出

f(x)

g(x)

=a^x的单调性是解题的关键，考查运算能力和应用知识分析解决问题的能力，属中档题．