Question

12．已知函数f（x）=log₂（ax²-4ax+6）．
（1）当a=1时，求不等式f（x）≥log₂3的解集；
（2）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，不等式f（x）≥log₂3，即log₂（x²-4x+6）≥log₂3，根据真数大于0，单调性即可求解．
（2）f（x）的定义域为R，即ax²-4ax+6＞0，对a讨论即可求解．

解答 解：（1）当a=1时，不等式f（x）≥log₂3，即log₂（x²-4x+6）≥log₂3，
可得x²-4x+6≥3
∴x²-4x+3≥0
解得：x≥3或x≤-1．
∴不等式f（x）≥log₂3的解集为（-∞，-1]∪[3，+∞）．
（2）f（x）的定义域为R，即ax²-4ax+6＞0恒成立．
①当a≠0时，得a＞0且△=16a²-24a＜0
解得：$0＜a＜\frac{3}{2}$；
②当a=0时，6＞0恒成立，f（x）的定义域为R成立．
综上得a的取值范围为[0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了对数函数的图象及性质的运用，计算，属于中档题．