Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，点E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：PB⊥平面DEF.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO，利用中位线定理以及线面平行的判定定理，即可证明；

（2）先利用线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质得出BC⊥DE， DE⊥PB，最后利用线面垂直的判定定理得出PB⊥平面DEF.

证明：（1）连结AC，设AC交BD于O，连结EO

∵底面ABCD是矩形，∴点O是AC的中点

又∵点E是PC的中点，∴PA∥EO

∵EO平面BDE，PA平面BDE

∴PA∥平面BDE.

（2）PD⊥底面ABCD，BC底面ABCD

∴PD⊥BC

∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC

∵PD∩CD＝D，PD，CD平面PDC

∴BC⊥平面PDC

∵DE平面PDC，∴BC⊥DE

∵PD＝DC，E是PC的中点，∴DE⊥PC

∵PC∩BC＝C，PC 平面PBC，BC 平面PBC

∴DE⊥平面PBC，PB平面PBC

∴DE⊥PB

又∵EF⊥PB，DE∩EF＝E，DE平面DEF，EF平面DEF

∴PB⊥平面DEF.