Question

3．已知3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{c}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，且|$\overrightarrow{b}$|=4．
（1）求cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞；
（2）记$\overrightarrow{d}$=（-2，0，4），确定实数k，使得（$\overrightarrow{d}$+k$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{d}$-2$\overrightarrow{c}$）互相垂直．

Answer 1

分析 （1）根据空间向量的数量积的运算，以及向量的模的计算和空间向量的夹角公式即可求出；
（2）互相垂直的两向量的坐标，将垂直用内积为零表示出，得到参数k的方程，解得即可．

解答 解：（1）3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{c}$=（-2，1，2），$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$=2，
∴（3$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{c}$=3$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{c}$-2$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=4+0+8=12，
∴$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{c}$=-3，
∵|$\overrightarrow{b}$|=4，|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{4+1+4}$=3，
∴cos＜$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$＞=$\frac{\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{b}||\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-3}{4×3}$=-$\frac{1}{4}$
（2）∵$\overrightarrow{d}$=（-2，0，4），$\overrightarrow{c}$=（-2，1，2），
∴|$\overrightarrow{d}$|=$\sqrt{（-2）^{2}+0+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=3，$\overrightarrow{d}$•$\overrightarrow{c}$=12
∴（$\overrightarrow{d}$+k$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{d}$-2$\overrightarrow{c}$）=|$\overrightarrow{d}$|²+（k-2）$\overrightarrow{d}•\overrightarrow{c}$-2k|$\overrightarrow{c}$|²=20+12（k-2）-18k=-6k-4，
∵使得（$\overrightarrow{d}$+k$\overrightarrow{c}$）与（$\overrightarrow{d}$-2$\overrightarrow{c}$）互相垂直，
∴（$\overrightarrow{d}$+k$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow{d}$-2$\overrightarrow{c}$）=-6k-4=0，
解得k=-$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查是向量的数量积的运算，夹角公式，模的计算，垂直的条件，属于中档题．