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定义在区间[-
2
3
π,π]上的函数y=f(x)的图象关于直线x=
π
6
对称,当x∈[-
2
3
π,
π
6
]时,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π),其图象如图所示.

(Ⅰ)求函数y=f(x)在[-
2
3
π,π]的表达式;
(Ⅱ)求方程f(x)=
2
的解;
(Ⅲ)是否存在常数m的值,使得|f(x)-m|<2在x∈[-
3
,π]上恒成立;若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)x∈[-
3
π
6
],A=2,
T
4
=-
π
6
-(-
3
)
,∴T=2π,ω=1,
且f(x)=2sin(x+φ)过(-
π
6
,2),
∵0<φ<π,∴-
π
6
+
φ=
π
2
,φ=
3

f(x)=2sin(x+
3
),
π
6
≤x≤π
时,-
3
π
3
-x≤
π
6
,f(
π
3
-x)=2sin(
π
3
-x+
3
)=2sin(π-x)=2sinx,
而函数y=f(x)的图象关于直线x=
π
6
对称,则f(x)=f(
π
3
-x),即f(x)=2sinx,
π
6
≤x≤π

∴f(x)=
2sin(x+
3
),x∈[-
3
π
6
]
2sinx,x∈[
π
6
,π]

(Ⅱ)当-
3
≤x≤
π
6
时,f(x)=2sin(x+
3
)=
2
,sin(x+
3
)=
2
2

∴x+
3
=
π
4
4
,即x=-
12
π
12

π
6
≤x≤π
时,f(x)=2sinx=
2
,sinx=
2
2
,∴x=
π
4
4

∴方程f(x)=
2
的解集是{-
12
π
12
π
4
4
},
(Ⅲ)存在,假设存在,由条件得:m-2<f(x)<m+2在x∈[-
3
,π]
上恒成立,
x∈[-
3
,π]
[f(x)]min>m-2
[f(x)]max<m+2

由图象可得:
m-2<0
m+2>2
,解得0<m<2.
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2
3
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x2
x2+1
,则f(1)+f(2)+…+f(2013)+f(2014)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2013
)+f(
1
2014
)
=(  )
A.2010
1
2
B.2011
1
2
C.2012
1
2
D.2013
1
2

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A.-3 B.±3 C.-1 D.±1

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