Question

7．已知f（x）=$\frac{m}{x+1}$+nlnx（m，n为常数），在x=1处的切线方程为x+y-2=0．
（Ⅰ）求f（x）的解析式并写出定义域；
（Ⅱ）若?x∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得对?t∈[$\frac{1}{2}$，2]上恒有f（x）≥t³-t²-2at+2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数的几何意义求得m，n的值，根据对数函数的定义得到函数定义域；
（Ⅱ）f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的最小值为f（1）=1，只需t³-t²-2at+2≤1，即$2a≥{t^2}-t+\frac{1}{t}$对任意的$t∈[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，构造函数m（t），利用导数求出m（t）的最大值，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）由$f（x）=\frac{m}{x+1}+nlnx$可得$f'（x）=-\frac{m}{{{{（x+1）}^2}}}+\frac{n}{x}$，
由条件可得$f'（1）=-\frac{m}{4}+n=-1$，
把x=-1代入x+y=2可得，y=1，
∴$f（1）=\frac{m}{2}=1$，∴m=2，$n=-\frac{1}{2}$，
∴$f（x）=\frac{2}{x+1}-\frac{1}{2}lnx$，（0，+∞）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上单调递减，
∴f（x）在$[\frac{1}{e}，1]$上的最小值为f（1）=1，
故只需t³-t²-2at+2≤1，即$2a≥{t^2}-t+\frac{1}{t}$对任意的$t∈[\frac{1}{2}，2]$上恒成立，
令m（t）=${t^2}-t+\frac{1}{t}$，
易求得m（t）在$[\frac{1}{2}，1]$单调递减，[1，2]上单调递增，
而$m（\frac{1}{2}）=\frac{7}{4}$，$m（2）=\frac{5}{2}$，
∴2a≥m（t）_max=g（2）
∴$a≥\frac{5}{4}$，即a的取值范围为$[\frac{5}{4}，+∞）$．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，属于中档题．