Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD 是平行四边形，平面PBD⊥平面 ABCD，PB=PD，PA⊥PC，CD⊥PC，O，M分别是BD，PC的中点，连结OM．求证：
（1）OM∥平面PAD；
（2）OM⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结AC，由三角形中位线的性质可得OM∥PA，由OM?平面PAD，PA?平面PAD，即可判定OM∥平面PAD．
（2）连结PO，可证PO⊥BD，由面面垂直的性质可证明PO⊥平面ABCD，可得PO⊥CD，又CD⊥PC，PC∩PO=P，PC?平面PAC，PO?平面PAC，可证CD⊥平面PAC．从而证明CD⊥OM，
OM⊥PC，又由CD?平面PCD，PC?平面PCD，CD∩PC=C，即可判定OM⊥平面PCD．

解答： 证明：（1）连结AC，
因为ABCD 是平行四边形，所以O为AC的中点． …（2分）
在△PAC中，因为O，M分别是AC，PC的中点，
所以OM∥PA．…（4分）
因为OM?平面PAD，PA?平面PAD，
所以OM∥平面PAD． …（6分）
（2）连结PO．因为O是BD的中点，PB=PD，
所以PO⊥BD．
又因为平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平
面ABCD=BD，PO?平面PBD
所以PO⊥平面ABCD．
从而PO⊥CD．…（8分）
又因为CD⊥PC，PC∩PO=P，PC?平面PAC，PO?平面PAC，
所以CD⊥平面PAC．
因为OM?平面PAC，所以CD⊥OM． …（10分）
因为PA⊥PC，OM∥PA，所以OM⊥PC．…（12分）
又因为CD?平面PCD，PC?平面PCD，CD∩PC=C，
所以OM⊥平面PCD．…（14分）

点评：本题考查了三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、线面垂直的判定性质定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．