Question

12．数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1，数列{b_n}，{c_n}满足b_n=log₃$\frac{{{a}_{n}}^{2}}{4}$，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式T_n＜m对任意的正整数n恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用递推公式、等比数列的通项公式即可得出．
（II）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由题意得：${S_{n+1}}+\frac{1}{2}{a_{n+1}}=1$，①${S_n}+\frac{1}{2}{a_n}=1$②
①-②可得${a}_{n+1}+\frac{1}{2}{a}_{n+1}-\frac{1}{2}{a}_{n}$=0，即${a}_{n+1}=\frac{1}{3}{a}_{n}$．
当n=1时 ${S_1}+\frac{1}{2}{a_1}=1$，则${a_1}=\frac{2}{3}$，则{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．
因此${a_n}=\frac{2}{3}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}=\frac{2}{3^n}$．
（Ⅱ）${b_n}={log_3}\frac{a_n}{4}={log_3}\frac{a_n^2}{4}={log_3}{3^{-2n}}=-2n$，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{2n（2n+4）}$=$\frac{1}{8}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．．
∴${T_n}=\frac{1}{8}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）=\frac{1}{8}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）＜\frac{3}{16}$．
∴$m≥\frac{3}{16}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．