Question

如图，四棱锥的底面为一直角梯形，侧面PAD是等边三角形，其中，,平面底面，是的中点．

(1)求证://平面；

(2)求与平面BDE所成角的余弦值；

(3)线段PC上是否存在一点M，使得AM⊥平面PBD，如果存在，求出PM的长度；如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

解 (1)取PD中点F，连接AF, EF

则,                                

又，

∴     

∴          

∴四边形ABEF是平行四边形      

∴AF∥BE   又平面PAD，平面PAD

∴//平面                                 

（2）过C作DE的垂线，交DE的延长线于N，连接BN

∵平面底面，

∴平面

∴AF   又AF⊥PD，

∴AF⊥平面PCD

∴BE⊥平面PCD

∴BE⊥CN，又CN⊥DE，

∴CN⊥平面BDE

∴CBN就是直线与平面BDE所成角        

令AD=1，,易求得，

∴sinCBN=

∴cosCBN=

 故与平面BDE所成角的余弦值为                  

（3）假设PC上存在点M，使得AM⊥平面PBD  则AM⊥PD,由（2）AF⊥PD

∴PD⊥平面AFM，又PD⊥平面ABEF

故点M与E重合。                           

取CD中点G，连接EG,AG

易证BD⊥AG，又BD⊥AE

∴BD⊥平面AEG

∴BD⊥EG

∴BD⊥PD,又PD⊥CD

∴PD⊥平面BCD

从而PD⊥AD,这与⊿PAD是等边三角形矛盾

故PC上不存在点M满足题意。