数列满足
.
(1)计算,
,
,
,由此猜想通项公式
,并用数学归纳法证明此猜想;
(2)若数列满足
,求证:
.
(1)1,,
,
an=
(n∈N*).
(2)运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。
解析试题分析:解:(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.
当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=. 1分
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=.
当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=. 2分
由此猜想an= (n∈N*). 4分
现用数学归纳法证明如下:
①当n=1时, a1==1,结论成立.
②假设n=k(k≥1且k∈N*)时,结论成立,即ak=,那么当n=k+1时,
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,
∴2ak+1=2+ak,∴ak+1==
=
,故当n=k+1时,结论成立,
由①②知猜想an= (n∈N*)成立. 8分
(2)由(1)知,,
. 9分
解法1:当时,
10分
. 12分
解法2:当时,
,
10分
. 12分
解法3: 当时,
10分
. 12分
考点:数学归纳法证明
点评:主要是考查了数列的猜想以及数学归纳法的运用,属于基础题。
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知数列满足
,其中
N*.
(Ⅰ)设,求证:数列
是等差数列,并求出
的通项公式
;
(Ⅱ)设,数列
的前
项和为
,是否存在正整数
,使得
对于
N*恒成立,若存在,求出
的最小值,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知二次函数的图象经过坐标原点,其导函数为
,数列
的前
项和为
,点
均在函数
的图像上.
(1)求的解析式;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,
是数列
的前n项和,求使得
对所有
都成立的最小正整数
.
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