Question

定义在R上的函数f（x）=sin（x+φ）+cos（x+Φ），则存在实数φ和Φ使得f（x）：
①是奇函数而非偶函数；
②是偶函数而非奇函数；
③既是奇函数又是偶函数；
④既不是奇函数又不是偶函数；
以上判断中正确的序号为

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：先利用两角和公式对函数解析式化简，当Φ=φ，φ+

π

4

=kπ时函数f（x）=±

2

sinx为奇函数判断出①正确；当Φ=φ，φ+

π

4

=kπ+

π

2

时，函数为余弦函数为偶函数判断出②正确；当Φ=φ，φ+

π

4

≠kπ时且φ+

π

4

≠kπ+

π

2

时函数非奇非偶，判断出④正确．当φ=

3π

2

，Φ=0时，f（x）=0，既是奇函数又是偶函数；故③正确．

解答： 解：①当Φ=φ，φ+

π

4

=kπ时，f（x）=±

2

sinx，为奇函数非偶函数，故①正确．
②当Φ=φ，φ+

π

4

=kπ+

π

2

时，f（x）=±

2

cosx，为偶函数非奇函数，故②正确．
③当φ=

3π

2

，Φ=0时，f（x）=0，既是奇函数又是偶函数；故③正确．
④当Φ=φ，φ+

π

4

≠kπ时且φ+

π

4

≠kπ+

π

2

时函数为非奇非偶函数．故④正确．
正确的序号为①②③④，
故答案为：①②③④．

点评：本题主要考查了三角函数的奇偶性．判断函数的奇偶性可参照函数的图象来判断．