Question

记S_n为数列{a_n}的前n项和，给出两个数列：

(Ⅰ)5,3,1，－1，－3，－5，－7，…

(Ⅱ)－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…

(1)对于数列(Ⅰ)，计算S₁，S₂，S₄，S₅；

对于数列(Ⅱ)，计算S₁，S₃，S₅，S₇；

(2)根据上述结果，对于存在正整数k，满足a_k＋a_k＋1＝0的这一类等差数列{a_n}的和的规律，猜想一个正确的结论，并加以说明．

Answer 1

解　(1)对于数列(Ⅰ)，S₁＝S₅＝5，S₂＝S₄＝8；

对于数列(Ⅱ)，S₁＝S₇＝－14，S₃＝S₅＝－30.

(2)对于等差数列{a_n}，当a_k＋a_k＋1＝0时，

猜想S_n＝S_2k－n(n≤2k，n，k∈N^*)．

下面给出证明：

设等差数列{a_n}的前项为a₁，公差为d.

∵a_k＋a_k＋1＝0，∴a₁＋(k－1)d＋a₁＋kd＝0，

∴2a₁＝(1－2k)d.

∴S_2k－n＝S_n，猜想正确．