Question

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）
如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;
（Ⅱ）设d为点P到直线l：的距离，若,求的值.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

本小题主要考查双曲线的第一定义、第二定义及转化与化归的数学思想，同时考查了学生的运算能力。
（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线.
因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b=,
所以双曲线的方程为
(II)解法一：
由（I）及答（21）图，易知|PN|1,因|PM|=2|PN|²,      ①
知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|="|PN|+2.    " ②
将②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=,所以
|PN|=.
因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=是双曲线的右准线，故=e=2,
所以d=|PN|,因此

解法二：

设P（x,y），因|PN|1知
|PM|=2|PN|²2|PN|>|PN|,
故P在双曲线右支上，所以x1.
由双曲线方程有y²=3x²-3.
因此

从而由|PM|=2|PN|²得
2x+1=2(4x²-4x+1)，即8x²-10x+1=0.
所以x=(舍去).
有|PM|=2x+1=
d=x-=.
故