Question

9．已知x，y，z∈R，且x+3y-2z=3，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

分析 利用题中条件：“x+3y-2z=3”构造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+9+4 ）≥（x+3y-2z）²，这个条件进行计算即可．

解答 解：由柯西不等式，得：（x²+y²+z²）×（1+9+4 ）≥（x+3y-2z）²，
即（x+3y-2z）²≤14（x²+y²+z²），
因为x+3y-2z=3，
所以9≤14（x²+y²+z²）．
所以x²+y²+z²≥$\frac{9}{14}$，即x²+y²+z²的最小值为$\frac{9}{14}$…（10分）

点评 本题考查柯西不等式在函数极值中的应用，关键是利用：（x²+y²+z²）×（1+9+4 ）≥（x+3y-2z）²．