Question

在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别是CC₁、B₁C₁、C₁D₁的中点．求证：∠NMP=∠BA₁D．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：连接B₁D₁、B₁C，在△B₁C₁C中，利用中位线定理得到MN∥CB₁，再在平行四边形A₁B₁CD中，A₁D∥CB₁，所以A₁D∥MN，同理，可得PM∥A₁B，利用∠NMP与∠BA₁D方向相同，即可得出结论．

解答： 证明：连接B₁D₁、B₁C，
∵正方体AC₁中，A₁B₁∥CD且A₁B₁=CD
∴四边形A₁B₁CD是平行四边形，可得A₁D∥CB₁
又∵△B₁C₁C中，M、N分别是CC₁、B₁C₁的中点．
∴MN∥CB₁
∴A₁D∥MN
同理，可得PM∥A₁B．
∵∠NMP与∠BA₁D方向相同，
∴∠NMP=∠BA₁D．

点评：本题给出经过正方体三条棱中点的平面，求证∠NMP=∠BA₁D，着重考查了线面平行的判定与性质，属于基础题．