Question

14．已知F为抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，点M到x轴的距离为d，|AB|=2d+1．
（1）求p的值；
（2）过A，B分别作C的两条切线l₁，l₂，l₁∩l₂=N．请选择x，y轴中的一条，比较M，N到该轴的距离．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，建立方程，即可得出结论；
（2）判断x_M=x_N，$|{y_M}|-|{y_N}|=|{{k^2}+\frac{1}{2}}|-|{-\frac{1}{2}}|={k^2}≥0$，即可得出结论．

解答 解：（1）设抛物线C的准线为m，如图，过A，B，M分别作直线m的垂线，垂足分别为A₁，B₁，M₁．

$|{AB}|=|{AF}|+|{BF}|=|{A{A_1}}|+|{B{B_1}}|=2|{M{M_1}}|=2（{d+\frac{p}{2}}）$，
所以$2（{d+\frac{p}{2}}）=2d+1$，所以p=1．
（2）由（1）得，抛物线$C：{x^2}=2y，F（{0，\frac{1}{2}}）$，
因为直线l不垂直于x轴，可设$l：y=kx+\frac{1}{2}，A（{{x_1}，{y_1}}），B（{{x_2}，{y_2}}），M（{{x_M}，{y_M}}），N（{{x_N}，{y_N}}）$．

由$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}=2y}\\{y=kx+\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，消去y得，x²-2kx-1=0，
由韦达定理得，$\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}+{x_2}=2k}\\{{x_1}{x_2}=-1}\end{array}}\right.$，
所以${x_M}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=k，{y_M}={k^2}+\frac{1}{2}$．
抛物线C：x²=2y，即$y=\frac{1}{2}{x^2}$，故y'=x，
因此，切线l₁的斜率为x₁，切线l₁的方程为y=x₁（x-x₁）+y₁，
整理得${l_1}：y={x_1}x-\frac{1}{2}x_1^2$①，
同理可得${l_2}：y={x_2}x-\frac{1}{2}x_2^2$②，
联立①②并消去y，得$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=k$，
把$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$代入①，得$y=\frac{1}{2}{x_1}{x_2}=-\frac{1}{2}$，故$N（{k，-\frac{1}{2}}）$．
因为x_M=x_N，$|{y_M}|-|{y_N}|=|{{k^2}+\frac{1}{2}}|-|{-\frac{1}{2}}|={k^2}≥0$，
所以M，N到y轴的距离相等；M到x轴的距离不小于N到x轴的距离．
（注：只需比较M，N到x轴或y轴的距离中的一个即可）

点评 本题考查抛物线的定义，直线与抛物线位置关系的运用，考查韦达定理的运用，属于中档题．