Question

6．已知直线$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$与抛物线y²=4x交于A，B两点（A在x轴上方），与x轴交于F点，$\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则λ-μ=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $-\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 直线过抛物线的焦点F（1，0），把直线方程代入抛物线的方程解得A、B 的坐标，由$\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，得到3λ+$\frac{1}{3}$μ=1，2$\sqrt{3}$λ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$μ=0，解方程从而求得λ-μ的值．

解答 解：直线$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$过抛物线的焦点F（1，0），
把直线方程代入抛物线的方程y²=4x，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
不妨设A（3，2$\sqrt{3}$）、B （$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∵$\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，
∴（1，0）=（3λ，2$\sqrt{3}$λ）+（$\frac{1}{3}$μ，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$μ）
=（3λ+$\frac{1}{3}$μ，2$\sqrt{3}$λ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$μ ）．
∴3λ+$\frac{1}{3}$μ=1，2$\sqrt{3}$λ-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$μ=0，
∴λ=$\frac{1}{4}$，μ=$\frac{3}{4}$，
则λ-μ=-$\frac{1}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查两个向量坐标形式的运算，直线和抛物线的位置关系，由$\overrightarrow{OF}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$得到λ、μ的方程是解题的关键．